Cận trên

Theo định đề Bertrand được chứng minh vào năm 1852, luôn có số nguyên tố nằm giữa k và 2k, tức là pn +1 < 2pn, đồng thời nghĩa là gn < pn .

Định lý số nguyên tố được chứng minh trong 1896, phát biểu rằng độ dài trung bình của khoảng cách giữa số nguyên tố p và số nguyên tố tiếp theo sẽ tiến dần theo tiệm cận tới ln(p) (lôgarit tự nhiên của số p) cho số nguyên tố p đủ lớn. Độ dài thực tế của khoảng cách có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị này. Song, ta vẫn có thể suy ra từ định lý số nguyên tố cận trên của độ dài khoảng cách số nguyên tố.

Cho mọi ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , tồn tại số tự nhiên N {\displaystyle N} sao cho với mọi n > N {\displaystyle n>N}

g n < p n ϵ {\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon } .

Ta có thể suy ra khoảng cách số nguyên tố sẽ nhỏ dần đi tuỳ ý tương xứng với các số nguyên tố: tức là thương

lim n → ∞ g n p n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}

Hoheisel (1930) là người đầu tiên tìm ra rằng[12] tồn tại hằng số θ < 1 sao cho

π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ log ⁡ ( x )  khi  x → ∞ , {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ khi }}x\to \infty ,}

do đó chứng minh được rằng

g n < p n θ , {\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}

cho n đủ lớn.

Hoheisel thu về được kết quả khả thi 32999/33000 cho θ. Sau được cải tiến thành 249/250 bởi Heilbronn,[13] và thành θ = 3/4 + ε, cho bất kỳ ε > 0, bởiChudakov.[14]

Một cải tiến lớn được đưa bởi Ingham,[15], người chứng minh rằng cho một số hằng số dương c,

Nếu ζ ( 1 / 2 + i t ) = O ( t c ) {\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})} thì π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ log ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}} cho bất kỳ θ > ( 1 + 4 c ) / ( 2 + 4 c ) . {\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}

Ở đây, O là ký hiệu O lớn, ζ ký hiệu hàm zeta Riemann và π là hàm đếm số nguyên tố. Bởi vì có thể chấp nhận bất kỳ c > 1/6, ta sẽ thu được θ là một số nào đó lớn hơn 5/8.

Một hệ quả trực tiếp từ kết quả của Ingham là sẽ luôn có số nguyên tố nằm giữa n3 và (n + 1)3, nếu n đủ lớn.[16] Phỏng đoán Lindelöf sẽ suy ra công thức của Ingham thoả mãn với mọi c dương: song thế này chưa đủ để chứng minh luôn có số nguyên tố nằm giữa n2 và (n + 1)2 cho n đủ lớn (xem giả thuyết Legendre). Để kiểm chứng điều này, ta cần một kết quả mạnh hơn như giả thuyết Cramér chẳng hạn.

Huxley trong 1972 đã chứng minh ta có thể chọn θ = 7/12 = 0.58(3).[17]

Một kết quả khác từ Baker, Harman và Pintz trong 2001, đã chứng minh θ có thể là 0.525.[18]

Trong 2005, Daniel Goldston, János Pintz và Cem Yıldırım đã chứng minh rằng

lim inf n → ∞ g n log ⁡ p n = 0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}

và sau 2 năm cải thiện nó thành[19] to

lim inf n → ∞ g n log ⁡ p n ( log ⁡ log ⁡ p n ) 2 < ∞ . {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}

Trong 2013, Yitang Zhang đã chứng minh rằng

lim inf n → ∞ g n < 7 ⋅ 10 7 , {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}

nghĩa là có vô số khoảng cách có độ dài không quá 70 triệu.[20] Đến ngày 20 tháng 7 năm 2013, dự án Polymath đã nỗ lực hợp tác và tối ưu hoá rút cận trên của Zhang về 4680.[21] Trong tháng 11 năm 2013, James Maynard giới thiệu phương pháp mịn hoá mới cho sàng GPY, cho phép ông rút gọn cận trên về 600 và chứng minh rằng cho bất kỳ m, tồn tại khoảng bị chặn có vô hạn số tịnh tiến mà mỗi cái trong đó có m số nguyên tố.[22] Sử dụng các ý tưởng của Maynard, dự án Polymath đã cải tiến cận trên về 246;[21][23] và nếu giả định giả thuyết Elliott–Halberstam hoặc dạng tổng quát của nó đúng, thì cận trên sẽ rút gọn về 12 hoặc 6, tương ứng.[21]